基于数学形态边缘检测和图像分割

1.介绍
　　数学形态学是研究数字影像形态结构特征与快速并行处理方法的理论，是通过对目标影像的形态变换实现结构分析和特征提取的目的。其历史可追溯到十九世纪的Euler，Steiner，crofton以及本世纪初Minlowski的论述中，但数学形态学是一门新兴学科，1964年，法国的G.Mathern和J.Serra在积分几何的基础上首次创立了这门学科，此后，他们又在法国建立了“枫丹白露数学形态学研究中心”，在该中心的学者和其他各国研究人员的共同努力下，数学形态学得到了不断丰富和完善。1982年，J.Sem的专著《图像分析与数学形态学》问世后，它才在图像处理、模式识别和计算机视觉等领域引起广泛的重视和应用，这些应用反过来又促进它的进一步发展。目前国内许多有效的图像处理系统有的是基于数学形态学方法原理设计的，有的是把数学形态学算法纳入其基本软件，并以其运算速度作为系统性能的重要标志之一。 
　　数学形态学以图像的形态特征为研究对象，它的主要内容是设计一整套概念、变换和算法，用来描述图像的基本特征和基本结构，也就是描述图像中元素与元素、部分与部分间的关系。数学形态学做为一种用于数字图像处理和识别的新理论和新方法，它的理论虽然很复杂，被称为“惊人数学”，但它的基本思想却是简单而完美的。数学形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，传统的理论却以解析方式的形式描述算子的性能，而几何描述特点似乎更适合视觉信息的处理和分析。这一基本思想如下所示。 

原始图像―――移位、交、并等集合运算―――――输出图像
结构元
　　数学形态学的理论包含内容十分广阔。特别地，传统图像处理中的线性算子和非线性算子均是形态学算子的特例！这个令人吃惊的结论说明数学形态学是一个图像处理的统一理论，是对传统理论的推广，在这个统一理论的框架下，经典的方法得以在一个新的、统一的层次上进行分析，从而帮助我们从不同的侧面更深入地了解经典算法的性质并在更广泛的范围、以更灵活的方式对它们进行改进。最初，由Maheron和Serra提出的数学形态学研究以二值图像为对象，称为二值形态学；此后，Serra和Sternberg等借助于伞理论，把二值形态算子推广到灰度图像，因而使灰度形态学的理论和应用研究也得到很大的发展，已经成为数字图像信号处理和计算机视觉领域中的一种有效方法。而今，数学形态学已经成为图像处理理论的一个重要方面，广泛地应用到图像处理的很多领域中，这些领域涉及医学成像、显微镜学、生物学、机器人视觉、自动字符读取、金相学、地质学、冶金学、遥感技术等等。在这些领域中，利用数学形态学可以对图像进行增强、分割、边缘检测、结构分析、形态分析、骨架化、组分分析、曲线填充、图像压缩等等各种各样的处理。 
2、图像边缘检测 
　　众所周知，边缘是图像最基本的特征，所谓边缘就是指周围灰度强度有反差变化的那些像素的集合，是图像分割所依赖的重要基础，也是纹理分析和图像识别的重要基础。理想的边缘检测应当正确解决边缘的有无、真假、和定向定位，长期以来，人们一直关心这一问题的研究，除了常用的局部算子及以后在此基础上发展起来的种种改进方法外，又提出了许多新的技术，其中，突出的有LOG，用Facet模型检测边缘，Canny的最佳边缘检测器，统计滤波检测以及随断层扫描技术兴起的三维边缘检测等。要做好边缘检测，首先，要清楚待检测的图像特性变化的形式，从而使用适应这种变化的检测方法。其次，要知道特性变化总是发生在一定的空间范围内，不能期望用一种检测算子就能最佳检测出发生在图像上的所有特性变化。当需要提取多空间范围内的变化特性时，要考虑多算子的综合应用。第三，要考虑噪声的影响，其中一个办法就是滤除噪声，这有一定的局限性；再就是考虑信号加噪声的条件检测，利用统计信号分析，或通过对图像区域的建模，而进一步使检测参数化。第四，可以考虑各种方法的组合，如先利用LOG找出边缘，然后在其局部利用函数近似，通过内插等获得高精度定位。第五，在正确检测边缘的基础上，要考虑精确定位的问题。经典的边缘检测方法是构造对像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子，如roberts梯度算子、Sobel梯度算子等，其边缘检测速度快，但得到的往往是断续的、不完整的结构信息，这类方法对噪声较为敏感，为了有效抑制噪声，一般都首先对原图像进行平滑，再进行边缘检测就能成功地检测到真正的边缘。边缘检测技术中较为成熟的方法是线性滤波器，其中尤其是以拉普拉斯LOG（Laplace of Gauss）算子最为有名，LOG算子较好地解决了频域最优化和空域最优化之间的矛盾，计算方法也比较简单方便，另外，该算子在过零点检测中具有各向同性特点，保证了边缘的封闭性，符合人眼对自然界中大多数物体的视觉效果；不过LOG算子的边缘定位精度较差，而边缘定位精度和边缘的封闭性两者之间无法客观地达到最优化折衷。 
　　对于二值图像，设B为一个单连通结构元，B的边缘aB就是经典的边缘集，因B为单连通集合，则aB为连通封闭曲线，由二值形态学变换可得： 
ЭB=X-XΘN4 （四连通）
ЭB=X-XΘN8（四连通）
则开变换 XΟB= (XθЭB) ΘB
闭变换 XΘB = (XΘЭB)θB
　　基于边缘轮廓结构的形态学，开、闭变换的第一运算起了提取噪声区域的作用，而第二个使用B的运算则将该区域内的噪声全部滤掉。传统的方法是点滤波操作方式，一个噪声必须满足给定的判决条件才能被滤掉，要求每一个噪声点都满足要求也不现实，所以噪声块不能完全被滤掉。同传统的方法相比，该方法只要求噪声块中有一个点满足判定条件，则整个噪声块都可全部滤掉。
3、图像分割
考虑边缘特征受噪声影响较大，而区域特征受噪声影响要小得多，使用灰度门限法进行区域分割较简单。从六十年代起，国内外学者就提出了诸如简单统计法、类间方差法、最小误差法等图像分割方法，一般来说，在统计判决门限法中经常用的是日本学者大津展之提出的最大方差准则最佳门限法，即使类问距离（方差）取得大而得到最佳门限。还有一种常用的方法是最大精准则灰度门限法，其基本思想是选择最佳分割灰度的门限，使图像的精达到最大。实验表明，这两种方法的分割效果不是很好，尤其是对图像质量较差的处理效果不好。经典的图像分割方法是基于度量空间的空间域聚类的，实际上它利用了直方图作为图像中不同区域的统计特征。这种方法的最大问题在于分割出区域的边界或空间是不连续的。图像的边缘提取和分割是图像处理的难题，它的解决对我们进行高层次的处理如特征描述、识别和分析有着重大影响。 
　　设f（x，y）为灰度图像的灰度函，s（i，j）为结构元素，f（x，y）εR，x，yεZ2，Df和D.分别为f（x，y）和s（i，j）的定义域，则f（x，y）关于s（i，j）的主要灰度形态变换定义如下： 
灰度形态学膨胀、腐蚀为：
fΘs(x,y) =max{f(x-i,y-j)+s(i,j)};
fθs(x,y)=min{f(x+i,y+j)-s(i,j)};
对于开运算就是在膨胀的基础上再进行一次腐蚀，对于闭运算就是在腐蚀的基础上再进行一次膨胀。由上述定义可知，若取s（x，y）=0，即s（x，y）为一大小可调的正方形灰度平面，则膨胀运算的实质就是以s（b，y）为模板，寻找图像在结构元大小范围内所有点的灰度极大值，以该极大值代替该结构元大小范围内所有点的类度值，在图像灰度曲面上移动结构元模板，重复同样的操作，直到图像上所有点都参与运算为止。因此，膨胀的结果就滤去了小于二倍结构元的波峰，同时原图像灰度曲面在原有基础上有了一定程度的膨胀。而腐蚀运算就相当于削去小于二倍结构元的波谷。如果用原图减去开运算的结果，就可以提取出原图像小于结构元的波峰；用原图减去闭运算的结果就可以提取出小于结构元的波谷，改变结构元的大小就可以提取不同的目标。 
4、结论 
　　从图像中提取目标，可以通过两个不同途径实现：一是提取目标边缘，二是提取目标区域。精确地分割是精确定量分析的基础，基于数学形态学的图像分割，它是一种非线性的图像处理方法，具有不可逆性，它反映了一幅图像中像素点间的逻辑关系，而不是简单的数值关系，因此可以用来描述和定义图像的各种几何参数和特征，用数学形态学进行分割的基本方法是根据目标的形态特征选择适当的结构元素对图像进行形态学运算以实现图像的分割。